Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva

Problema 529

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva)

Utilizaremos la notación habitual en la geometría del triángulo, y en consecuencia p será el perímetro y s el semiperímetro. Emplearemos también uno de los conocidos teoremas de Guldin sobre figuras de revolución. Por otra parte, es claro que el triángulo que estamos buscando no puede ser escaleno, ya que es obvio que trasladando el vértice del triángulo sobre la elipse que mantiene la suma de distancias a la base, podemos aumentar el área de la base del mismo y, además, la distancia de su baricentro al eje, con lo que, por el teorema de Guldin, aumentará también el volumen de revolución. Por tanto, el triángulo que buscamos ha de ser isósceles.

Sea 2x la longitud de la base (lado desigual de giro) del mismo y en consecuencia los lados iguales tendrán como longitud . Según el teorema de Guldin, utilizando el teorema de Pitágoras y propiedades elementales relativas al baricentro, el volumen de la figura de revolución será

donde  ya que la base de nuestro triángulo la hemos denotado por 2x. Nuestro problema es entonces un problema de optimización y se reduce, pues, al cálculo del máximo absoluto de la función  en el intervalo anterior. Si denotamos , entonces  y además , luego en , tenemos un máximo relativo. Veamos ahora que también es el máximo absoluto, ya que claramente

             y         

En consecuencia, el triángulo de perímetro fijo p buscado es el triángulo isósceles que gira sobre el lado desigual de magnitud  p/4, y con lados iguales de longitud 3p/8.

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Nota: Es inmediato comprobar que el giro del triángulo equilátero de perímetro p alrededor de uno de sus lados engendra un volumen de revolución menor que el del triángulo determinado anteriormente.