Problema 530

Siga  un triangle acutangle. Es dibuixen tres circumferències de diàmetres les altures. En cada una d’elles es traça la corda perpendicular pel ortocentre a l’altura corresponent. Demostreu que les tres cordes obtingudes tenen la mateixa longitud.

Solució de Ricard Peiró:

Siga H l’ortocentre del triangle .

Siga la circumferència de diàmetre l’altura  

Siga la recta perpendicular al diàmetre  que passa per H que talla la circumferència anterior en els punts P, Q.

Notem que .

Aplicant la potència del punt H respecte a aquesta circumferència:

.

.

Siga la circumferència de diàmetre l’altura  

Siga la recta perpendicular al diàmetre  que passa per H que talla la circumferència anterior en els punts M, N.

Notem que .

Aplicant la potència del punt H respecte a aquesta circumferència:

.

.

Volem demostrar que .

Seria suficient demostrar que .

Considerem la circumferència de diàmetre .

Notem que els punts D i F pertanyen a la circumferència.

Aplicant la potència de H respecte d’aquesta circumferència:

.

Amb la tercera circumferència del problema obtindríem el mateix resultat.