Problema 530

B.4186. Sea ABC un triángulo acutángulo. Se trazan tres circunferencias de diámetros las alturas. En cada una de ellas se traza la cuerda perpendicular por el ortocentro a la altura correspondiente. Demostrar que las tres cuerdas obtenidas tienen la misma longitud.

enunciado actualizado el 2 de noviembre

Komal (2009). Mayo

Solución de Ricard Peiró:

Sea H l’ortocentro del triángulo .

Sea la circunferencia de diámetro la altura  

Sea la recta perpendicular al diámetro  que pasa por H que corta la circunferencia anterior en los puntos P, Q.

Notemos que .

Aplicando la potencia del punto H respecto a esta circunferencia:

.

.

Sea la circunferencia de diámetro la altura  

Sea la recta perpendicular al diámetro  que pasa por H que corta la circunferencia anterior en los puntos M, N.

Notemos que .

Aplicando la potencia del punto H respecto a esta circunferencia:

.

.

Queremos demostrar que .

Sería suficiente demostrar que .

Consideremos la circunferencia de diámetro .

Notemos que los puntos D y F pertenecen a la circunferencia.

Aplicando la potencia de H respecto de esta circunferencia:

.

Con la tercera circunferencia del problema obtendríamos el mismo resultado.