Problema 531.- La circunferencia circunscrita a un triángulo biseca el segmento que une el incentro con cualquiera de los excentros de dicho triángulo.

Instituto de Ciencias y Humanidades (2005). Geometría, una visión de la planimetría. Lumbrera Editores. Lima, Perú (pág. 408)

Resolución: Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva

A lo largo de la resolución del problema utilizaremos la notación habitual en la geometría del triángulo. También emplearemos el conocido teorema de Brianchon-Poncelet-Feuerbach, (a partir de aquí para nosotros será el teorema B.P.F.) o teorema sobre la circunferencia de los nueve puntos, que en su versión débil afirma que:

“La circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados de un triángulo cualquiera también pasa por los pies de las alturas y por los puntos medios de los segmentos de unión del ortocentro con los vértices del triángulo”.

Sean I el incentro del triángulo e sus excentros. Es bien conocido que las rectas que unen cada uno de los vértices del triángulo con su incentro, contienen también al excentro correspondiente (éste es un resultado clásico). Es inmediato demostrar que el segmento es perpendicular al lado , y análogamente para , y , respecto de los lados , e . Por otra parte, el triángulo ABC resulta ser el triángulo órtico del triángulo excentral (el incentro I del triángulo ABC es el ortocentro del triángulo excentral ) y, en consecuencia, la circunferencia circunscrita al triángulo ABC es la circunferencia de los nueve puntos del triángulo excentral . Entonces, en virtud del teorema B.P.F. concluimos que dicha circunferencia circunscrita pasa por los puntos medios de los segmentos que unen al incentro con cada uno de los excentros.

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