Problema 536.- Construir las tres circunferencias que pasando por el punto de Gergonne son tangentes a los lados del triángulo ABC. Los seis puntos de tangencia son concíclicos.

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva)

Para resolver el problema, comenzaremos suponiendo el problema resuelto, y admitiremos entonces que las circunferencias pasan a través de un punto común P. Sea ABC un triángulo arbitrario, P el punto común por el que pasan las tres circunferencias, siendo tangentes a los lados del triángulo y pasando por el mismo. Sean M, N  (M más cercano al vértice B) los puntos de tangencia de dos de las circunferencias sobre el lado BC, y análogamente sean R, S (R más cercano al vértice C) los puntos de tangencia sobre el lado CA, y T, U (T más cercano al vértice A) los puntos de tangencia sobre el lado AB.

Consideremos la circunferencia que pasa por los seis puntos de tangencia M, N, R, S, T, U. de las tres circunferencias con los lados del triángulo. Podemos hacer esta suposición, ya que las líneas mediatrices de los segmentos MU, NR y ST claramente son las bisectrices de los ángulos del triángulo, y puesto que se cortan en el incentro I del triángulo, será este el centro de dicha circunferencia que pasa por los seis puntos. En consecuencia, tenemos claramente que los segmentos MN, RS y TU son de igual longitud, ya que son cuerdas a la misma distancia del centro de una circunferencia  común.

Si denotamos por X, Y, Z a las proyecciones del incentro sobre los lados BC, CA y AB, respectivamente, es claro que  y también se cumplirá que

y esto significa que el vértice A y el punto proyección X, pertenecen al eje radical de las circunferencias que son tangentes al lado BC. De forma análoga, se procede para los otros vértices y puntos proyecciones sobre los lados. En consecuencia, el único punto común a los tres ejes radicales debe ser entonces el punto de Gergonne del triángulo, que es la intersección de dichos ejes. Por tanto, el punto P supuesto, no puede ser más que este punto.

            Ahora ya es fácil construir cada una de las tres circunferencias tangentes. Si consideramos la circunferencia que es tangente a los lados AB y CA y que pasa por el punto de Gergonne, es inmediato que su centro se puede encontrar trazando una perpendicular al lado BC por el punto de Gergonne. Análogamente para los otros centros.

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