Problema
542.- (Propuesto por Gennaro Rispoli, profesor de matemáticas en el Liceo
Scientífico Sperimentale anneso al Liceo Gimnasio “T.L. Caro”, 84087 Sarno
(Salerno) Italia.
Sea P un punto sobre la circunferencia
circunscrita del triángulo ABC. Es
conocido que los pies de las perpendiculares trazadas por P a los lados AB, BC y CA,
están alineados en la recta de Simson. Demostrar que las rectas de Simson de
dos puntos P y Q, diametralmente opuestos, son perpendiculares.
Problema IR7, “Baltic-Way-
Resolución: Vicente Vicario García, I.E.S. “El Sur”,
Huelva
Utilizaremos la notación habitual en
la geometría del triángulo. Sea ABC
el triángulo dado. Sea P un punto
arbitrario de la circunferencia circunscrita al mismo y que no coincida con
ninguno de sus vértices. Sean 
, 
y 
las proyecciones
ortogonales del punto P sobre los
lados AB, AC y BC del triángulo,
respectivamente. Sea L la proyección ortogonal del vértice C del triángulo sobre el lado AB. Sea M el punto intersección de la recta de Wallace-Simson del punto P y la altura del triángulo que parte de
C sobre el lado AB. Finalmente se N la
intersección de la recta 
con esta misma altura.
Es
bien sabido que en virtud del teorema de Wallace-Simson los tres puntos, , están alineados. Demostraremos ahora que el ángulo formado
entre dos rectas de Wallace-Simson correspondientes a distintos puntos P y Q
sobre la circunferencia circunscrita coincide con la mitad del ángulo central
que abarcan estos puntos. Obviamente, este resultado permite deducir
inmediatamente como corolario lo que propone el problema dado. Además es claro
que el cuadrilátero 
es cíclico, y en
consecuencia, deducimos que 
[1].
Por
otra parte, es fácil observar que la recta de Simson-Wallace que corresponde a
los vértices del triángulo corresponde con la altura relativa a ese vértice.
Nosotros, sin pérdida de generalidad, supondremos el punto P sobre el arco AC (que
no contiene al vértice B) y tomaremos
como recta de medida común la recta de Wallace-Simson originada por el vértice C del triángulo, es decir, la altura 
que parte del vértice C hacia el lado AB. Es claro que el segmento 
es paralelo a la recta
. Por otra parte, los ángulos 
y 
son iguales, ya que
los cuadriláteros 
y 
son cíclicos, y además
estos ángulos valen 
. También, puesto que el ángulo 
es común, los
triángulo 
y 
son semejantes por
tener dos ángulos iguales.
Finalmente, teniendo en cuenta [1] y la
semejanza de triángulos mencionada, deducimos que 
que es el ángulo que
forman la altura y la recta de
Wallace-Simson que parte del vértice C.
La demostración concluye observando que, por el teorema del ángulo inscrito, se
deduce que 
es la mitad del arco
que abarcan los puntos P y C.
Si
ahora tomamos otro punto Q
diametralmente opuesto a P,
observamos que el ángulo que forma su recta de Wallace-Simson asociada con
nuestra recta de referencia será 90º mayor que el que formaba la recta asociada al punto P. De aquí, deducimos entonces que el
ángulo que forman las rectas de Wallace-Smson de dos puntos diametralmente
opuestos P y Q es de 90º.
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Nota: Es conocido también que cada recta de Wallace-Simson de un punto P de la circunferencia circunscrita a un triángulo ABC, biseca la línea HP del segmento que une el punto P con el ortocentro H del triángulo. Además, el punto medio de este segmento HP es un punto que pertenece a la circunferencia de los nueve puntos.
El punto intersección de dos rectas de Wallace-Simson de dos puntos diametralmente opuestos, (además de formar ángulo recto) se cortan en un punto que también pertenece a la circunferencia de los nueve puntos.