Problema 544

Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva)

Demostrar que existe un triángulo acutángulo, uno de cuyos ángulos mide 60º y tal que el área de su triángulo órtico sea igual al área de su triángulo de Morley.

Vicario, V. (2010): Comunicación personal.

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva)

Para demostrar la existencia de tal triángulo utilizaremos la teoría de las funciones continuas de una variable real, y en particular, el famoso teorema de Bolzano. La demostración consistirá en verificar un cambio de signo para una magnitud continua en un intervalo, de lo que deduciremos que debe ser cero para algún valor intermedio. Es, por tanto, una demostración puramente existencial y no constructiva.

Consideremos un segmento de extremos B y C y un arco capaz de 60º que abarca dicho segmento. Consideremos el punto medio A del arco capaz. En consecuencia, el triángulo ABC es claramente equilátero. Para este triángulo ABC es claro también que el área de su triángulo órtico (que coincide con su triángulo medial) es mayor que el área de su triángulo de Morley.

Consideremos ahora el punto A desplazándose sobre el arco capaz hacia el punto B y acercándose, sin sobrepasarlo, al punto para el cual el ángulo es recto, y por tanto. manteniéndose el ángulo agudo, pero “muy cercano al ángulo recto”. Es claro entonces que en esta posición tenemos un triángulo acutángulo ABC y tal que el área de su triángulo órtico es ahora menor que el área de su triángulo de Morley. En consecuencia, puesto que el movimiento del punto A sobre el arco capaz de 60º ha sido continuo y la diferencia entre las áreas de los triángulos órtico y de Morley han cambiado de signo, deducimos en virtud del teorema de Bolzano que para algún punto intermedio se cumplirá la igualdad de dichas áreas, lo que demuestra la proposición.