Problema 545. Encontrar en el interior de un triángulo dado un punto tal que los segmentos que lo unen a los vértices del mismo, dividan al inicial en tres triángulos cuyas áreas sean iguales

Alexandroff. (1899). Problemas de geometría elemental agrupados según los métodos empleados para su resolución. Traducido del ruso al francés, según la sexta edición por D. Aitoff, París, (p.56).

Resolución: Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva

Utilizaremos la notación habitual en la geometría del triángulo. Sea ABC el triángulo dado. Demostraremos a continuación que el punto que propone el problema es único y resulta ser el baricentro del triángulo.

Es bien conocido el hecho de que al trazar las tres medianas en el triángulo se forman seis triángulos de la misma área. La demostración es inmediata sin más que numerarlos adecuadamente e imponer las condiciones que implican que cada una de las medianas biseca el área del triángulo. Por tanto, al unir el baricentro del triángulo con cada uno de los vértices del mismo, se originan tres triángulos y cada uno de ellos está formado por dos de los seis triángulos ya mencionados. Esto demuestra que el área de estos tres triángulos así formados es la misma.

Para demostrar la unicidad del baricentro como único punto con esta propiedad, basta con razonar por reducción al absurdo y suponer que existe otro punto P distinto al baricentro G y con la misma propiedad. Es claro que, puesto que el área de cada uno de los triángulos formados es la tercera parte del triángulo original, la altura desde el punto P relativa al lado, digamos BC, es claramente . De la misma forma obtenemos que la altura del punto P relativa al lado AC es . Estas dos condiciones implican inmediatamente que el punto P coincide con el baricentro, lo que es una contradicción, y en consecuencia, el baricentro G es el único punto interior con esta propiedad.

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