Problema 551

Les distàncies d’un punt qualsevol d’una mitjana als costats que parteixen del mateix vèrtex són inversament proporcionals a costats corresponents.

Solució de Ricard Peiró i Estruch.

Siga el triangle . Siga la mitjana .

Siga P un punt qualsevol de la mitjana .

Siga Q la projecció de P sobre . Siga R la projecció de P sobre .

Volem provar que .

Siqa Q’ la projecció de DP sobre . Siga R’ la projecció de D sobre .

Siga la recta paral·lela al costat que passa pel punt P.

La recta talla els costats , en els punts B’, C’, respectivament.

Els triangles , són homotètics.

Aleshores, . Aleshores, (1)

Els triangles , tenen la mateixa àrea.

Aleshores, . Aleshores, (2)

De les expressions (1) (2): . Aleshores, .

Amb Cabri:

Figura barroso551.fig

Applet created on 1/03/10 by Ricard Peiró with CabriJava