Problema 555

3.1 El triángulo rectángulo

Sea ABC un triángulo rectángulo con el ángulo recto en el vértice A, y P sobre BC. Sean I y J los pies de las perpendiculares trazadas por P a AB y AC. ¿Cómo debemos elegir P para que IJ sea mínimo?

Laborde, C. (1992): Solving problems in computer based geometry enviroments: The influence of the features of the software. ZDM (92/4), p. 131

Solución 1 Ricard Peiró.

Notemos que AIPJ és un rectángulo.

Entonces la mínima distancia se alcanza cuando la distancia de A a la recta BC es mínima.

Es decir cuando  és l’altura del triángulo rectángulo sobre la hipotenusa.

.

Solución 2:

Sea , .

.

Los triángulos ,  son semejantes. Aplicando el teorema de Tales:

.

Entonces,

.

El valor mínimo de  se alcanza en el vértice de la parábola cóncava .

. En este caso .

La medida del segmento  es .

Notemos que , es decir,  y  son perpendiculares.