Problema 560

Trazar tres circunferencias que pasen por los vértices de un triángulo y los puntos medios de los lados concurrentes. Unamos el centro de cada circunferencia con el punto de corte de las otras dos circunferencias (el punto medio del lado, pues en el punto de Miquel se cortan las tres) con un segmento. Demostrar que los tres segmentos así obtenidos se intersecan en un único punto que pertenece a la recta de Euler.

González Calvet, R. (8/10/2000): TREATISE OF PLANE GEOMETRY THROUGH GEOMETRIC ALGEBRA (ed. electrónica, 2000-2001, ed. impresa, 2007), problema 9.5.

Solución de Ramón González Calvet, Director del Departamento de Matemáticas del IES Pere Calders Cerdanyola del Vallès

Sean A, B y C los puntos medios de los lados de cualquier triángulo PQR :

Los centros de las circunferencias RAB, PBC y QCA se denotarán como D, E y F respectivamente. La circunferencia PBC se obtiene a partir de la circunferencia circunscrita PQR por medio de una homotecia con centro P. Entonces si O es el circuncentro del triángulo PQR, el centro de la circunferencia PBC está situado a mitad de distancia de R:

Sea Z la intersección de con . Entonces:

Agrupando términos encontramos:

La descomposición lineal da:

que es invariante bajo permutación cíclica de los vértices P, Q y R. Entonces las líneas rectas EA, FB y DC se intersecan en un único punto Z. Por otro lado, el punto Z pertenece a la recta de Euler: