Problema 654

Donada una hipèrbola i un punt de la hipèrbola, l’àrea dels triangles que determinen la intersecció de les rectes tangents a la hipèrbola pel punt i les asímptotes és constant.

Solució Ricard Peiró i Estrcuh:

a) Estudiem el cas de la hipèrbola equilàtera:

,

Siga  un punt de la hipèrbola. Aleshores,  

Les rectes asímptotes són .

La recta tangent a la hipèrbola que passa pel punt P té equació:

Siga M la intersecció de la recta tangent i l’asímptota

Les coordenades de M són

Siga N la intersecció de la recta tangent i l’asímptota

Les coordenades de N són

La intersecció de les asímptotes és l’origen de coordenades

L’àrea del triangle  és: 

.

b) Siga la hipèrbola reduïda

Efectuant la transformació lineal:

 que conserva les àrees.

Ens quedaria l’equació .

Aplicant el apartat a) les àrees dels triangles que determinen la intersecció de les rectes tangents a la hipèrbola per un punt qualsevol de la hipèrbola i les asímptotes és constant i la constant és ab.