Problema 654

Dada una hipérbola y un punto de la hipérbola, el área de los triángulos que determinan la intersección de las rectas tangentes a la hipérbola por el punto y las asíntotas es constante.

Solución de Ricard Peiró:

a) Estudiemos el caso de la hipérbola equilátera:

,

Sea  un punto de la hipérbola. Entonces,  

Las rectas asíntotas son .

La recta tangente a la hipérbola que pasa por el punto P tiene ecuación:

Sea M la intersección de la recta tangente y la asíntota

Las coordenadas de M son

Sea N la intersección de la recta tangente y la asíntota

Las coordenadas de N son

La intersección de las asíntotas es el origen de coordenadas

El área del triángulo  es:         

.

b) Sea la hipérbola reducida

Efectuando la transformación lineal:

 que conserva las áreas.

Nos quedaría la ecuación .

Aplicando el apartado a) las áreas de los triángulos que determinan la intersección de las rectas tangentes a la hipérbola por un punto de la hipérbola y las asíntotas es constante, y la constante es ab.