Problema 565

Siga ABCD un quadrat. Pel punt A es dibuixa qualsevol triangle  amb P sobre , Q sobre  i . Siguen M i N els punts d’intersecció de la diagonal  amb  i , respectivament. Demostreu que .

Solució Ricard Peiro:

Siga  costat del quadrat i . .

Aleshores, , . Siga . Vegem que .

            . Aleshores, .

Per tant, , .

Els triangles ,  són semblants. Aplicant el teorema de Tales:

                                                        (1)

Aplicant el teorema dels sinus al triangle :

                                                                (2)

Dividint les expressions (1) (2): .

Aleshores,                                            (3)

Aplicant el teorema dels sinus al triangle :

                                                                (4)

Dividint les expressions (2) (4)

                                                      (5)

Els triangles ,  són semblants. Aplicant el teorema de Tales:

                         (6)

Substituint l’expressió (6) en l’expressió (5): .

Aleshores,                      (7)

Per tant, .