Problema 565

Siga ABCD un cuadrado. Por el punto A se dibuja cualquier  triángulo  con P sobre , Q sobre  y . Sean M y N los puntos de intersección de la diagonal  con  y , respectivamente. Demostrar que .

Solución Ricard Peiro:

Sea  lado del cuadrado y . .

Entonces, , .

Sea . Veamos que .

            . Entonces, .

Por tanto, ,

Els triángulos ,  son semejantes. Aplicando el teorema de Tales:

                                                        (1)

Aplicando el teorema de los senos al triángulo :

                                                                (2)

Dividiendo las expresiones (1) (2): .

Entonces,                                            (3)

Aplicando el teorema de los senos al triángulo :

                                                                (4)

Dividiendo las expresiones (2) (4)

                                                      (5)

Los triángulos ,  son semejantes. Aplicando el teorema de Tales:

                         (6)

Substituyendo la expresión (6) en la expresión (5): .

Entonces,                      (7)

Por tanto, .