Problema 569.- (En honor A Braulio de Diego)

Las alturas de un triangulo ABC se cortan en un punto H. Determínese el valor del Angulo sabiendo que .

Problemas de Oposiciones Matemáticas, p.745. Año 2004.

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva)

A lo largo de la resolución del problema utilizaremos la notación habitual en la geometría del triangulo. Sea H el ortocentro o punto de corte de las alturas del triangulo ABC. Es bien conocido que la distancia HC vale . Esto se puede demostrar fácilmente considerando que el cuadrilátero EHDC es cíclico, teniendo en cuenta la medida del Angulo , la medida y aplicar el teorema de los senos generalizado al triangulo EHC, y después al triangulo ABC, de modo que

Por otra parte, como , tenemos entonces que

que es el único valor admisible para el ángulo C, ya que se puede demostrar de forma sencilla que el mismo valor sigue siendo valido para cuando el ángulo C sea obtuso, e incluso cuando el triangulo ABC sea rectángulo en algún vértice distinto del vértice C. Esto termina la demostración.

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