Problema 570

            Sea ABC un triángulo escaleno en el que una altura, una bisectriz interior y una mediana (cada una de las cevianas anteriores parten de un vértice distinto) son iguales. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que . Demostrar que las longitudes de los lados del triángulo ABC cumplen la siguiente relación:

Resolución: Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva

            A lo largo de la resolución del problema emplearemos la notación habitual en la geometría del triángulo. Comenzaremos con un lema clásico que necesitamos.

Lema: “Si ABC es un triángulo arbitrario entonces se cumple que:

                             y        ”.

Demostración: Se basa en aplicar el teorema de los cosenos al triángulo ABC y en las siguientes expresiones con sus simplificaciones

lo que concluye la demostración del lema.   ■

Nos centramos ahora en el problema y partimos de una conocida expresión para la bisectriz interior. De esta forma, a partir de la igualdad  deducimos

            Por otra parte, de la igualdad , a partir de una conocida expresión para la mediana, utilizando el lema y la expresión deducida para senB/2 anteriores, tenemos

donde la última igualdad es una condición que cumplen las longitudes de los lados del triángulo que estamos estudiando. Lo que concluye la demostración.

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