Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de
Problema 571
Sean T=ABC de lados a(hipotenusa),b,c, y T¨=A´B´C´ de lados a´(hipotenusa),
b´,c´, dos triángulos rectángulos en A y A´, cuyas alturas desde A,
A´, son ha, ha´, respectivamente.
Sean m, n, m´, n´, las proyecciones ortogonales sobre la hipotenusa a,
a´, de los catetos b,c y b´, c´, de los triángulos T y T´, respectivamente.
Probar que :
a) 1/(mm´) + 1/(nn´)- 2/(ha ha´) >= 0. ¿ Cuándo se alcanza la igualdad?
b) 1/(mn´)+ 1/(m´n)- 2/(ha ha´) > =0. ¿ Cuándo se alcanza la igualdad?
Romero, J.B.(2010): Comunicación personal.
Solución de Juan Bosco Romero Márquez.
a) Teniendo en cuenta que T y T´ son triángulos rectángulos en A
y A´, respectivamente, tenemos que ha^2 = mn, ha´^2=m´n´, por el
teorema de la altura.Sustituyendo en la expresión de a), y operando, se llega
al resultado, y, se alacanza, la igualdad si y sólo sí m m´= n n´, esto,
es si bb´= cc´. Esto es, "inversos semejantes".
b) Haciendo lo mismo, probamos el resultado, y con la igualdad
alcanzada si y sólo si´, m n´= m´n, esto es, b c´= b´c, Esto es, "linealmente
semejantes". Es decir, semejantes en el sentido usual.