Problema 572.- Construir sobre los lados BC, CA yAB de un triangulo ABC, exteriormente, los cuadrados BCDE, ACFG, BAHK y construir los paralelogramos FCDQ, EBKP. Demostrar que el triangulo APQ es un triangulo rectángulo isósceles.

Demir, H. AMM (1968), vol 75, p.899. Problem E2124.

(Propuesto por Huseyin Demir, Middle East Technical University, Ankara, Turkey).

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva)

Para la resolución del problema emplearemos la geometría de los números complejos en el plano, teniendo en cuenta que un giro antihorario que respete el modulo de un vector es equivalente a multiplicar por la unidad imaginaria y un giro en sentido horario equivalente a multiplicar por el opuesto de la unidad imaginaria. Además, es bien conocido que la suma de vectores cumple la regla del paralelogramo.

Sean a, b, c los afijos de los vectores complejos que representan los puntos que corresponden a los vértices del triangulo ABC. De esta forma, con la notación del problema, es claro que, , de forma que

Por otra parte, , y en consecuencia

Análogamente, tenemos que , . Por otra parte, , y en consecuencia

Y la proposición queda probada al observar que

que demuestra que los segmentos AP y AQ miden lo mismo y son perpendiculares entre si. Esto concluye la demostración.

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