Problema 574.- (Propuesto por Ricard Peiro i Estruch, I.E.S. “Abastos”, Valencia).

Dado el triangulo equilátero de lado unidad, determinar el punto D del lado AB y el punto E del lado AC tal que al trazar paralelas por D al lado AC, y por E al lado AB, determinan cuatro regiones , , , del triangulo tal que sus áreas están en progresión aritmética.

(Tribunal de Oposiciones de Secundaria, 2010, Valencia).

Resolución: Vicente Vicario García, I.E.S. “El Sur”, Huelva.

A lo largo de la resolución del problema utilizaremos la notación habitual en la geometría del triangulo. Sea un triangulo ABC equilátero y de lado unidad. Sean R y Q los puntos pies sobre el lado BC de las paralelas trazadas, según el enunciado del problema, por los puntos D y E, respectivamente, a los lados AC y AB. Sea P el punto de corte de los segmentos DR y EQ. Sean las regiones , , y , definidas por los cuadriláteros DPQB, CEPR, AEPD y el triangulo PRQ, respectivamente. Simbolizaremos además por , el área de la región i-esima. Es indudable que, puesto que la áreas de las regiones, , , están en progresión aritmética, y el área de un triangulo equilátero de lado l vale , se cumple

Entonces, puesto que la suma de las áreas de las regiones y es la mitad de área del triangulo equilátero inicial, y como el triangulo BDR es equilátero, claramente tenemos que

, o bien

y, en consecuencia tenemos localizado el punto D.

Sea ahora . Podemos determinar de forma sucesiva, y en función exclusiva de la longitud del segmento, las áreas de cada una de las cuatro regiones. La primera que calculamos,, corresponde al área de un paralelogramo, obteniéndose a partir de ella, muy fácilmente los valores para las demás regiones

Por otra parte, puesto que las áreas , , , están en progresión aritmética, se tiene que , lo que produce

y, una vez resuelta la ecuación de segundo grado, la única solución para admisible para nuestro problema geométrico es , lo que concluye la demostración.

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