Problema 575.- ¿Cual es el área máxima de un triangulo inscrito en un cuadrado de lado unidad?

Halmos, P. (2000) Problemas pour mathematiciens, petits el grands. Le sel et le fer Cassine.

Resolución : Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva

Sea un cuadrado de vértices ABCD y de lado unidad. Un simple razonamiento por reducción al absurdo demuestra que el triangulo (o triángulos) de área máxima inscritos en un cuadrado de lado unidad, deben tener un lado sobre un lado del cuadrado y el tercer vértice sobre el lado opuesto del mismo, o bien dos lados coincidentes con dos lados contiguos del cuadrado y el tercer lado coincidente con la diagonal del cuadrado. En cualquiera de los casos el área máxima es la mitad del área del cuadrado original.

Observemos que no puede haber otras configuraciones para triángulos de área máxima, ya que, mediante simples desplazamientos de vértices podemos encontrar triángulos de mayor área que la de estos. Por otra parte, es sencillo demostrar que los triángulos inscritos con un vértice coincidente con uno de los del cuadrado tienen siempre un área menor que la mitad del área del cuadrado original.

Nota: En el problema 474 de esta misma revista ya se estudia el caso especial del problema dado en el que se pide el triangulo equilátero de mayor área inscrito en un cuadrado dado. También aparecía el triangulo equilátero inscrito de menor área.

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