Problema 576

Considerem els triangles d’àrea 1.

Quin és l’àrea màxima d’un quadrat contingut en un d’ells?

Solució Ricard Peiró i Estruch.

Donat un quadrat contingut en un triangle hi ha quadrat de costat igual que té dos vèrtexs en un costat i els altres dos interiors al triangle.

Aquest darrer és menor que el quadrat inscrit al triangle (conté dos vèrtexs en el mateix costat i els altres dos vèrtexs en els altres costats.

Determinem la màxima àrea d’un quadrat inscrit en un triangle.

Siga un triangle d’àrea 1.

Siga PQRS un quadrat inscrit en el triangle.

Determinem el costat del quadrat.

Siga altura del triangle sobre el costat c.

.

Els triangles , són semblants. Aplicant el teorema de Tales:

.

.

.

.

Considerem la funció .

El màxim de la funció s’assoleix quan .

En aquest cas .

L’àrea del quadrat màxim és , és a dir, la meitat de l’àrea del triangle.