Problema 576

Consideremos los triángulos de área 1

¿Cuál es el área máxima de un cuadrado contenido en uno de ellos?

Solución Ricard Peiró i Estruch.

Dado un cuadrado contenido en un triángulo hay un cuadrado de lado igual que tiene dos vértices en un lado y los otros dos interiores al triángulo.

Este último es menor que el cuadrado inscrito al triángulo (contiene dos vértices en el mismo lado y los otros dos vértices en los otros lados.

Determinemos la máxima área de un cuadrado inscrito en un triángulo.

Sea un triángulo de área 1.

Sea PQRS un cuadrado inscrito en el triángulo.

Determinemos el lado del cuadrado.

Sea altura del triángulo sobre el lado c.

.

Los triángulos , son semejantes. Aplicando el teorema de Tales:

.

.

.

.

Consideremos la función .

El máximo de la función se alcanza cuando .

En este caso .

El área del cuadrado máximo es , es decir, la mitad del área del triángulo.