Problema 576.- Consideremos los triángulos de área unidad. ¿Cuál es el área máxima de un cuadrado contenido en uno de ellos?

Halmos, P. (2000) Problemas pour mathematiciens, petits el grands. Le sel et le fer Cassine.

Resolución: Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva

A lo largo de la resolución del problema utilizaremos la notación habitual en la geometría del triángulo. Indicaremos desde el principio que definimos un cuadrado inscrito en un triangulo dado como aquel cuadrado que tiene un lado del mismo (y obviamente dos vértices) sobre un lado del triangulo y los otros dos vértices uno sobre cada uno de los otros dos lados.

El problema de inscribir un cuadrado en un triángulo dado tiene una larga historia y debemos remontarnos a los tiempos de Herón de Alejandría, sobre el siglo I de nuestra era. Existen varias formas alternativas (muy conocidas) de inscribir un cuadrado en un triángulo dado. Comentaremos dos de ellas brevemente. Comenzaremos suponiendo que el triángulo dado es acutángulo y más tarde abordaremos los otros dos casos: triángulo rectángulo y triángulo obtusángulo

Forma 1: Sea el triángulo acutángulo ABC. Apoyándonos en el lado BC del triángulo construimos un cuadrado (tendrá un lado sobre este lado del triángulo) que además tendrá un vértice sobre el lado AB (la construcción es extremadamente sencilla pues basta con trazar una perpendicular al lado BC y prolongar hasta construir el cuadrado) aunque su cuarto vértice sea interior al triángulo de partida. Posteriormente, construimos otro cuadrado distinto al anterior con la misma filosofía. Finalmente, basta trazar la línea que une los dos vértices libres de los dos cuadrados así construidos, hasta cortar al lado AC del triángulo original. Este último punto de corte será uno de los vértices del cuadrado inscrito buscado que se apoya sobre un lado del triángulo original.

Observemos que esta configuración la podemos efectuar tres veces, una para cada lado. Por otra parte, los tres cuadrados que se pueden inscribir en el triángulo acutángulo, apoyándose cada uno de ellos sobre cada uno de los lados del triángulo original, en general, son de distinta área. En realidad, como demostraremos a continuación, el mayor cuadrado inscrito lo será sobre el lado menor del triángulo de partida.

Forma 2: Otra construcción extremadamente sencilla se puede ver en los trabajos de Floor van Lamoen en la revista digital Forum Geometricorum (2004-24). Para construir un cuadrado inscrito en un triángulo acutángulo sobre un determinado lado del mismo, digamos BC, se construye exteriormente sobre este lado un cuadrado. Basta entonces con unir los dos vértices exteriores del mismo con el vértice opuesto A del triángulo para obtener dos puntos de corte sobre el lado BC. Trazando perpendiculares sobre estos dos puntos se tiene la construcción buscada.

A continuación demostraremos dos lemas que necesitaremos posteriormente.

Lema 1: “Sea un triángulo ABC con y las alturas respectivas sobre cada uno de estos lados. Entonces se tiene la cadena de desigualdades siguiente: ”.

Demostración: Basta observar que si , tenemos claramente que

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Lema 2: “Sea un triángulo acutángulo ABC. Entonces el lado del cuadrado inscrito en este triángulo con uno de sus lados apoyándose sobre el lado BC tiene como valor

”.

Demostración: Sea x la longitud del lado del cuadrado inscrito. Este cuadrado divide el triángulo original en cuatro regiones. (tres triángulos y el propio cuadrado) Por consideraciones de áreas de figuras elementales tenemos claramente que

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Ahora es claro que si , y puesto que tenemos , entonces

con lo que el cuadrado inscrito mayor lo es sobre el lado menor del triángulo de partida, y su área vale , y como el área de cada uno de los triángulos considerados vale la unidad, se tiene que y la expresión anterior se convierte en .

Por otra parte, en un triángulo rectángulo sólo es posible inscribir dos cuadrados diferentes: uno el que se apoya sobre la hipotenusa, y el otro que tiene un vértice que corresponde al vértice del ángulo recto del triángulo de partida y se apoya en cada uno de sus catetos. De forma similar a la anteriormente expuesta, es fácil obtener las áreas de estos dos cuadrados, de manera que el lado del cuadrado construido sobre la hipotenusa vale

y para el que tiene su vértice sobre el vértice del ángulo recto, el valor es

Este ultimo se obtiene fácilmente igualando el área del triangulo rectángulo a la suma de las áreas del cuadrado construido y de los triángulos rectángulos sobrantes.

y, en este caso, se tiene claramente que ya que

ya que la desigualdad es obvia. Las expresiones y

para la altura sobre la hipotenusa y el radio de la circunferencia inscrita al triangulo rectángulo, son bien conocidas. De esta forma, puesto que partimos de triángulos de área unidad, se tiene que , y el área de cuadrado de mayor área inscrito será

En un triángulo obtusángulo, solo podemos inscribir un cuadrado que se apoya en el lado mayor (opuesto al ángulo obtuso y con las mismas técnicas expuestas anteriormente) ya que para inscribir otros dos cuadrados que se apoyan en los otros lados se debe tener un vértice colgando no inscrito. Esto concluye el tratamiento del problema.

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