Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva.

Problema 586

            Sea ABC un triangulo acutángulo donde A, B, C son sus ángulos y tal que . Sea escoge al azar un punto P interior al mismo. Determinar:

(a)   Probabilidad de que P diste menos de alguno de los vértices del triangulo que del circuncentro del mismo, expresando dicha probabilidad exclusivamente en función de los lados a, b, c del triangulo

(b)   Idem del apartado anterior, pero expresando dicha probabilidad exclusivamente en función de razones trigonometricas de los ángulos del mismo

(c)    Idem del apartado (a) anterior pero expresando dicha probabilidad exclusivamente en función del semiperimetro, el circunradio y el inradio del mismo

(d)   Demostrar que dicha probabilidad es mayor o igual que 1/3

Refinar de alguna forma el resultado 1/3 del apartado (d) anterior utilizando expresiones con elementos del triangulo.

Vicario, V. (2010): Comunicación personal.