Problema 579

Siga el triangle , , .

Siga .

Siguen els punts C i E sobre les semirectes BC i AC, respectivament, tal que .

a) Proveu que .

b) Per a quins valors de k s’acompleix aquesta relació.

Suppa, E. (2010): Comunicación personal.

Solució de Ricard Peiró:

Nota 1:

Teorema d’Euler sobre els radis:

En qualsevol triangle                       (1)

Aplicant el teorema del cosinus al triangle :

                                                 (2)

a)

Aplicant el teorema dels sinus al triangle :

. Aleshores, .

Calculant l’àrea del triangle :

. Aleshores: .

.

.

, .

Aplicant el teorema del cosinus al triangle :

.

.

            .

Aleshores, .

b)

Siga  tal que , .

, .

Aplicant el teorema del cosinus al triangle :

.

.

.

Com que :

. Simplificant:

. Resolent l’equació en la incògnita k:

. Aleshores, , .