Problema 579

Sea el triángulo , , .

Sea .

Sean los puntos C y E sobre las semirectas BC y AC, respectivamente, tal que .

a) Probar que .

b) Para que valores de k se cumple esta relación.

Suppa, E. (2010): Comunicación personal.

Solución de Ricard Peiró:

Nota 1:

Teorema de Euler sobre los radios:

En cualquier triángulo                       (1)

Aplicando el teorema del coseno al triángulo :

                                                 (2)

a)

Aplicando el teorema de los senos al triángulo :

. Entonces, .

Calculando el área del triángulo :

. Entonces: .

.

.

, .

Aplicando el teorema del coseno al triángulo :

.

.

            .

Entonces, .

b)

Sea  tal que , .

, .

Aplicando el teorema del coseno al triángulo :

.

.

.

Como :

. Simplificando:

. Resolviendo la ecuación en la incógnita k:

. Entonces, , .