Problema 580

Siga el triangle  de costats , i D, E, F els peus de les altures traçades des dels vèrtexs A, B, C respectivament, sobre els costats , respectivament. Proveu que:

a) . Estudieu les desigualtats que s’obtenen per a cada classe de triangles segons els angles.

b) Si c, C són costat i angle fix i b, a variables, calculeu el següent límit:

.

Romero, J.B.(2010): Comunicación personal.

Solució de Ricard Peiró:

L’àrea del triangle  és:

 on R és el radi de la circumferència circumscrita al triangle.

, .     .

Aplicant el teorema dels sinus al triangle : .

Aleshores, .

La igualtat s’assoleix només quan .

Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle :

. Aplicant el teorema del cosinus al triangle :

.

Anàlogament,

.

Com que , , aleshores,

, la igualtat només s’assoleix quan .

b)

Si , aleshores, B, C són aguts.

.

Aplicant el teorema dels sinus:

.

Com la funció  és injectiva en :

.