Problema 580

Sea el triángulo  de lados , i D, E, F los pies de las alturas trazadas desde los vértices A, B, C respectivamente, sobre los lados , respectivamente. Probar que:

a) . Estudiar las desigualdades que se obtienen para cada clase de triángulos según los ángulos.

b) Si c, C son lado y ángulo fijos y b, a variables, calcular el siguiente límite:

.

Romero, J.B.(2010): Comunicación personal.

Solución de Ricard Peiró:

El área del triángulo  es:

 donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

, .     .

Aplicando el teorema de los senos al triángulo : .

Entonces, .

La igualdad se alcanza únicamente cuando .

Aplicando razones trigonométricas al triángulo rectángulo :

. Aplicando el teorema del coseno al triángulo :

.

Análogamente,

.

Como , , entonces,

, la igualdad se alcanza únicamente cuando .

b)

Si , entonces, B, C son agudos.

.

Aplicando el teorema de los senos:

.

Como la función  es inyectiva en :

.