Propuesto por Vicente Vicario García, I.E.S. “El Sur”, Huelva

Problema 589.-

Sea {ABC} un conjunto de triángulos tales que el ángulo A y su lado c en cada uno de ellos son fijos. Denotamos por , , ,  la mediana, simediana, ceviana Gergonne y ceviana Nagel que parten del vértice A de cada uno de los mismos, respectivamente. Determinar el valor del siguiente límite cuando la longitud del lado b tienda a la del lado c, es decir, cuando el triangulo ABC tienda a ser isósceles:

Resolución: Vicente Vicario García, I.E.S. “El Sur”, Huelva.

            A lo largo de la resolución del problema utilizaremos la notación habitual en la geometría del triangulo. Inicialmente determinaremos expresiones para , , , en función exclusiva del ángulo A, el lado c (que son fijos) y el lado variable .

            Para determinar  basta con aplicar el teorema de los cosenos y llegar a la expresión clásica (teorema de Apolonio)

           

            Para determinar  basta con utilizar la conocida expresión , obteniendo

            Para determinar  basta con emplear el teorema de los cosenos, de manera que

que después de sustituir, simplificar y utilizar relaciones trigonometricas elementales nos lleva a la expresión siguiente para la ceviana Gegonne

            De forma análoga se obtiene, a partir del teorema de los cosenos, una expresión para la ceviana Nagel

que, de nuevo, después de simplificar y utilizar expresiones trigonometricas elementales nos lleva a

            Pasemos ahora a calcular el límite:

que es el valor del mismo.

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