Problema 592

Se tiene un triángulo ABC, donde AB=BC. Si H y S son los puntos medios de AC y HB, respectivamente, y HL es perpendicular a SC en L, pruebe que es  .

Donaire, M. F. (2010): Formas y números. La geometría en las Olimpíadas Matemáticas. Fondo Editorial del Pedagógico San Marcos. Lima. (p. 180)

Solución Ricard Peiró:

Consideremos el triángulo  con las siguientes coordenadas:

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La recta que pasa por los puntos S, C tiene ecuación:

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La recta que pasa por H y es perpendicular a  tiene ecuación:

La intersección de las dos rectas es el punto L que tiene coordenadas:

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Calculemos las componentes  de los vectores :

. .

Veamos que el producto escalar de los dos vectores es cero:

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Entonces, .