Problema 592.- Se tiene un triángulo ABC, donde . Si H y S son los puntos medios de AC y HB, respectivamente, y HL es perpendicular a SC en L, pruebe que .

Donaire, M. F. (2010): Formas y números. La geometría en las Olimpíadas Matemáticas. Fondo Editorial del Pedagógico San Marcos. Lima. (p. 180)

Resolución: Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva.

            A lo largo de la resolución del problema utilizaremos la geometría de coordenadas en el plano. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el triángulo dado tiene como vértices , , , con b y q reales y positivos. Además, es claro que  y . Por otra parte, podemos determinar la ecuación de la recta SC hallando previamente un vector director de la misma, de modo que

                                  

con lo que la ecuación de la recta SC vendrá dada por

            Es bien sabido que dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es , con lo que podemos determinar la ecuación de la recta HL

            Podemos entonces determinar las coordenadas del punto L como solución del sistema de ecuaciones siguiente

            Finalmente, para demostrar que el ángulo BLA es recto, basta con demostrar que el producto escalar de los vectores AL y BL es nulo. Esto es cierto ya que tras un pequeño cálculo se llega a las expresiones

,

con lo que

lo que concluye el problema.

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