Problema 595.

La altura  de un triángulo  interseca a la circunferencia circunscrita a  en P. La recta de Simson de P respecto a  es paralela a la recta tangente por A a la circunferencia circunscrita.

D'Ignazio, I. y Suppa, E. (2001): Il problema geometrico dal compasso al cabri Interlinea Editrice. Téramo. (p. 276)

Solució Ricard Peiró:

Considerem el triangle en les següents coordenades cartesianes:

.

Les coordenades de  són .

Siga  ortocentre del triangle. Calculem y:

.

Resolent l’equació: . Aleshores, .

.

Calculem les coordenades de l’ortocentre:

La recta que passa per B i és perpendicular al costat  té equació:

.

La recta que passa per A i és perpendicular al costat  té equació:

.

La intersecció de les rectes  és l’ortocentre H que té coordenades:

.

La recta  talla la circumferència circumscrita en el punt P.

, aleshores, P és el simètric de H respecte de . Les coordenades de P són:

.

Siga M la projecció de P sobre el costat . Determinem les seues coordenades.

La recta que passa pels punts A, B té equació:

.

La recta que passa per P i és perpendicular a la recta  té equació:

.

La intersecció de les rectes  és M que té coordenades:

La recta de Simson de P respecte del triangle , és la recta que passa pels punts M, . El seu vector director és:

.

Vegem que els vectors ,  són ortogonals:

Aleshores, la recta de Simson de R respecte del triangle  és paral·lela a la tangent per A a la circumferència circumscrita.