Problema 595.

La altura  de un triángulo  intersecta la circunferencia circunscrita a  en P.

La recta de Simson de P respecto del triángulo  és paralela a la tangente por A a la circunferencia circumscrita.

D'Ignazio, I. y Suppa, E. (2001): Il problema geometrico dal compasso al cabri Interlinea Editrice. Tieneramo. (p. 276)

Solució Ricard Peiró:

Consideremos el triángulo con las seguientes coordenadas cartesianas:

.

Las coordenadas de  son .

Sea  ortocentro del triángulo. Calculemos y:

.

Resolviendo la ecuación: . Entonces, .

.

Calculemos las coordenadas del ortocentro:

La recta que pasa per B i és perpendicular al lado  tiene ecuación:

.

La recta que pasa por A y es perpendicular al lado  tiene ecuación:

.

La intersecció de las rectas  es el ortocentro H que tiene coordenadas:

.

La recta  corta la circunferencia circumscrita en el punto P.

, entonces, P es el simétrico de H respecto de . Las coordenadas de P son:

.

Sea M la projecció de P sobre el lado . Determinemos sus coordenadas.

La recta que pasa por los puntos A, B tiene ecuación:

.

La recta que pasa per P y és perpendicular a la recta  tiene ecuación:

.

La intersección de las rectas  és M que tiene coordenadas:

La recta de Simson de P respecto del triángulo , es la recta que pasa por los puntos M, . Su vector director es:

.

Veamos que los vectores ,  son ortogonales:

Entonces, la recta de Simson de R respecte del triángulo  es paralela a la tangente por A a la circunferencia circunscrita.