Problema 596.

Siga P un punt interior al triangle  i siguen les cevianes  .

Es fan les construccions de tots els rombes indicats en la figura.

Denotem per  l’àrea de cadascun dels rombes

AZZaAc, AYaAb, CYYcCb, XCCaXc, XBBaXb, ZBBcZb, respectivament.

Proveu que es verifica la relació entre les àrees següents:

 si i només si  concorren en el punt P..

Solució de Ricard Peiró:

Utilitzarem el teorema de Ceva que diu:

Teorema de Ceva:

Siga el triangle , siguen els punts .

Aleshores, els segments  es tallen en un punt P  Û   .

Calculem les àrees :

,    .

,                                   .

,                                    

Aleshores,:

       

             

Simplificant:

               

             

Û      

Aplicant el teorema de Ceva:

        concorren en el punt P.