Problema 598.-

Sea ABC un triángulo, tal que AB<AC, y con <BAC=2<BCA. Sobre AC se toma D tal que CD=AB. Por B se traza la recta l paralela a AC. La bisectriz exterior de A interseca a l en M y la paralela por C a AB interseca a l en N. Prueba que MD=DN.

15 Olimpiada Mexicana de Matemática (26-27 Noviembre 2001) 

Solución del director

Sea <BCA=α, <BAC=2α

CD=AB por construcción.

CN paralela a AB, luego es CN=AB.

CN=CD=AB. Así, CND es un triángulo isósceles.

<DCN=180-2α, de donde <CDN=<CND=α.

<MAB=90-α, por ser bisectriz externa.

<MBA=2α por construcción.

Luego <AMB=90-α

De ello se deduce que MA=MB.

Así MBCD es un paralelogramo, y <DMB=α=<DNM.

Es decir el triángulo DMN es isósceles, y DM=DN, cqd.

Ricardo Barroso Campos

Didáctica de las Matemáticas.

Universidad de Sevilla.