Problema 609

a) Una cabra està lligada mitjançant una corda de 3 metres de llargària, a un dels cantons exteriors d’un tancat en forma de triangle equilàter de 5 metres de costat. El tancat està envoltat d’un camp d’herba. Quina és l’àrea on pot pastar la cabra?.

b) I si la llargària de la corda és de 6 metres?.

c) I si la corda mesura 9 metres?.

Bagazgoitia, A. (2002): El problema de la cabra.Sigma , Octubre. P. 45.

Solució de Ricard Peiró:

a)

La longitud de la corda és menor que el costat del triangle.

Aleshores l’àrea que ocupa la cabra és:

.

b)

La longitud de la corda és major que el costat però menor que la meitat del perímetre.

Aleshores l’àrea que ocupa la cabra és:

.

c)

La longitud de la corda és major que la meitat del perímetre però menor que el doble del costat.

Siga el triangle equilàter .

Suposem la corda lligada al vèrtex B.

Siga M el punt mig del costat .

Siga N la intersecció dels arcs de centres A i C i radis 4.

L’àrea que ocupa la cabra és cinc sisenes parts d’un cercle de radi 9 més la suma de dos sectors de radi 4 i angle  més l’àrea del triangle .

, . Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle :

, .

L’àrea que ocupa la cabra és:

.