Problema 609

a)Una cabra está atada, mediante una cuerda de 3 metros de longitud, a una de las esquinas exteriores de un redil en forma de triángulo equilátero, de 5 metros de lado. El redil está rodeado por un campo de hierba. ¿En qué área puede pastar la cabra?

b)¿Y si la longitud de la cuerda es de 6 metros?

c)¿Y si la cuerda midiese 9 m?

Bagazgoitia, A. (2002): El problema de la cabra.Sigma , Octubre. P. 45.

Solución de Ricard Peiró:

a)

La longitud de la cuerda es menor que el lado del triángulo.

Entonces el área que ocupa la cabra es:

.

b)

La longitud de la cuerda es mayor que el lado pero menor que la mitad del perímetro.

Entonces el área que ocupa la cabra es:

.

c)

La longitud de la cuerda es mayor que la mitad del perímetro pero menor que el doble del lado.

Sea el triángulo equilátero .

Supongamos la cuerda atada al vértice B.

Sea M el punto medio del lado .

Sea N la intersección de los arcos de centros A y C y radios 4.

El área que ocupa la cabra es cinco sextas partes de un círculo de radio 9 más la suma de dos sectores de radio 4 y ángulo  más el área del triángulo

, . Aplicando razones trigonométricas al triángulo rectángulo :

, .

El área que ocupa la cabra es:

.