Problema 610

Problema 4. Dados los lados AB y AC de un triángulo acutángulo ABC, se construyen exteriormente al triángulo, semicírculos teniendo estos lados como diámetros. Las rectas conteniendo las alturas relativas a los lados AB y AC cortan esos semicírculos en los puntos P y Q. Demostrar que AP=AQ.

Eureka!, (1999): Núm 4, pag 19. Sociedade Brasileira de Matemática.

Solución del director.

Sean H_b y H_c los pies de lãs alturas de B y C sobre AC y AB .

Es  <BH_bH_c=<BCH_c, por ser BCH_bH_c un cuadrilátero inscriptible, al ser BH_bC=CH_cB=90º.

Luego es <AH_bH_c= 90º- <BH_bH_c=90º<BCH_c=<ABC.

Así el triángulo ABC es semejante al AH_cH_b , y se tiene que

Por otra parte, los triángulos AQH_b y ACQ son rectángulos y semejantes.

Por ello,

De igual manera, los triángulos APH_c y ABP son rectángulos y semejantes, por lo que

Así, AP=AQ, cqd.

Ricardo Barroso Campos

Didáctica de las Matemáticas.

Universidad de Sevilla