Problema 617.

Resolver el triángulo  conocidos b, a+c, .

Solución de Ricard Peiró:

.

El problema tiene dos soluciones si  i .

El problema tiene una solución si  i .

El problema no tiene solución si  o .

Dos métodos de construcción:

Método 1:

Dibujar .

Dibujar una recta r paralela a CD a una distancia .

Dibujar la circunferencia de radio b y centro C que corta la recta r en A.

Dibujar la mediatriz al segmento  que corta la recta CB en el punto B.

Dibujar el triángulo

Dibujar .

Dibujar la mediatriz al segmento  que corta la recta CB en el punto B’.

Dibujar el triángulo .

Método 2:

Dibujar .

Dibujar una recta r paralela a CD a una distancia .

Dibujar la circunferencia de radio b y centro C que corta la recta r en A.

Dibujar la recta CA.

La circunferencia de centro C y radio a+b+c corta la recta CA en el punto .

Dibujar la recta perpendicular a que pasa por

Dibujar la recta perpendicular a que pasa por

Las dos rectas se intersectan en el exincentro del triángulo .

Dibujar la circunferencia exincrita.

Dibujar la recta tangente a la circunferencia exincrita que pasa por A que corta la recta  en el punto B.

Dibujar el triángulo

Dibujar .

Dibujar la recta perpendicular a que pasa por

Dibujar la circunferencia exincrita.

Dibujar la recta tangente a la circunferencia exincrita que pasa por A que corta la recta  en el punto B’.

Dibujar el triángulo .

Ejemplo particular resuelto analíticamente:

Resolver el triángulo  conocidos , , .

Solución:

Sea  altura del triángulo.

Aplicando razones trigonométricas al triángulo rectángulo :

, entonces: .

Supongamos que . .

Aplicando el teorema del coseno al triángulo : .

Consideremos el sistema  su solución es:

. Teniendo en cuenta que  B es un ángulo obtuso.

 (ángulo obtuso). .

Supongamos que . .análogamente

. Teniendo en cuenta que  el ángulo B es agudo.

 (ángulo agudo).

.