Problema 655

Construir un triángulo ABC con inradio r y circunradio R tal que tenga una única circunferencia

tangente interiormente a la circunferencia circunscrita y a la vez sea tangente exteriormente a la

circunferencia inscrita, que tenga radio r.

Barroso, R. (2012): Comunicación personal.

Construïu un triangle  amb inradi r, i circumradi R tal que tinga una única circumferència

Tangent interior ment a la circumferència circumscrita i a la vegada siga tangent exteriorment a la

circunferència inscrita, que tinga radi r.

Solución:

Sean I el incentro O el ortocentro y Q el centro de la tercera circunferencia.

, , .

Supongamos que O, I Q no están alineados.

Veamos que la condición de la unicidad de la tercera circunferencia no se consigue.

Proceso:

a)      Construir el triángulo .

b)      Dibujar la circunferencia inscrita y circunscrita al triángulo.

c)      Dibujar un punto A en la circunferencia circunscrita.

d)      Dibujar las rectas tangentes a la circunferencia inscrita que pasan por A

e)      La rectas tangentes cortan la circunferencia circunscrita en los puntos B y C.

f)        Dibujar el triángulo .

g)      Notemos que la circunferencia simétrica de la circunferencia de centro Q. tiene las mismas propiedades.

Figure barroso655b.fig

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Supongamos que O, I , Q están alineados.

.

. Resolviendo la ecuación con la incognita r:

.

Proceso de construcción:

a)      Dibujar el segmento ,

b)      Dibujar la circunferencia inscrita y circunscrita al triángulo.

c)      Dibujar las rectas tangentes a la circunferencia inscrita que pasan por A

d)      La rectas tangentes cortan la circunferencia circunscrita en los puntos B y C.

e)      Dibujar el triángulo .

Figura barroso655c.fig

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