Problema 632

Demostrar que si (a,b,c) y (a’,b’,c’) son tripletas pitagóricas primitivas, con a>b>c, y a’>b’>c’, entonces una de las expresiones siguientes:

aa’ + (bc`-cb’), aa’-(bc’-cb’), aa’+(bb’-cc’), o aa’-(bb’-cc’) 

es cuadrado perfecto.
Propuesto por F.G.B. Maskell, Algoquin Collage.

Eureka (1975), March . nº1, p.3.

Nota del director: Eureka fue la revista que antecedió a Crux Mathematicorum, desde 1975 a 1978.

Solución del director:

Al ser (a,b,c) y (a’,b’,c’) tripletas pitagóricas primitivas, se tiene que

Son valores naturales con mcd (a,b,c)=mcd (a’,b’,c’)=1.

En la primera tripleta los valores son m²+n², 2mn, m²-n².

En la segunda, p²+q², 2pq, p²-q²

a y a’ son las hipotenusas, que son respectivamente m²+n² y p² +q², por lo tanto, son los mayores de los tres lados.

Así, si es  m²+n²> 2mn> m²-n² y  p²+q²> 2pq> p²-q²

Tendremos:

aa’ + (bc`-cb’) = (m²+n²) (p²+q² )+[(2mn)(p²-q²)-(m²-n²)2pq]

=m²p²+m²q² + n²p²+n²q² +2mnp²-2mnq²-2pqm²+2pqn²

=m² (p-q)² +n² (p+q)² +2mn(p²-q²)=[m(p-q)+n(p+q)]²

Caso 5,4,3, y 13,12,5, por ejemplo, es

5 13 + (4 5 – 3 12)=65 + (20-36)=65-16=49=7²

Si es  m²+n²>  m²-n² >2mn, y  p²+q²> 2pq> p²-q²

Será:

aa’ - (bb’-cc’) = (m²+n²) (p²+q² )-[ (m²-n²)2pq-(2mn)(p²-q²)]

=m²p²+m²q² + n²p²+n²q² -m²2pq +n²2pq -2mnp²+2mnq²

=m² (p-q)² +n² (p+q)² +2mn(q²-p²)=[m(q-p)+n(p+q)]²

Así el caso

65, 63, 16  y 5, 4, 3

65 5 –( 63 4-16 3)=121=11 ²

Análogamente se estudian los otros casos posibles.

Ricardo Barroso Campos

Didáctica de las Matemáticas.

Universidad de Sevilla.