Problema 645

Sea  un triángulo equilátero. Sea O el circuncentro.

Sea M en el lado , N en el lado  tal que .

Probar que el perímetro del triángulo  es igual al lado del triángulo equilátero.

Peiró, R. (2012): Comunicación personal.

Solución del director:

Sea MG paralela a AC con G sobre CB. CG=AM, por ser  BMG equilátero (por ejemplo, es una de las posibles demostraciones de esta propiedad…)

Así, trazando GH paralela a BA con H sobre AC, es CH=CG=AH.

Luego hemos de ver que MN=HN.

Es OH=OG =OM por ser HG paralela a AB y ser OHG  y OMG isósceles.

Así, los triángulos OMN y OHN tienen un lado igual y un lado común.

Por otra parte, si giramos OMA 120º con centro en O , obtenemos el triángulo OHC.

Así <MOH=120º, y como <MON=60º, es NOH=60º, y de ello los triángulos OMN y OHN son congruentes, por lo que MN=HN.

Así, AN +NM+MA= AN+NH + HC=AC, cqd

Ricardo Barroso Campos

Didáctica de las Matemáticas

Universidad de Sevilla.