Problema 645

Sea  un triángulo equilátero. Sea O el circuncentro.

Sea M en el lado , N en el lado  tal que .

Probar que el perímetro del triángulo  es igual al lado del triángulo equilátero.

Solución Ricard Peiró i Estruch

Sea .

Sea P el punto medio del lado . Sea Q el punto medio del lado .

.

Sea , .

. .

. .

Aplicando razones trigonométricas al triángulo rectángulo :

.

.   .

Aplicando el teorema del coseno al triángulo :

.

. Calculemos el perímetro del triángulo :

.