Problema 647.- En un triángulo obtusángulo, el semiperímetro es menor que la suma del radio del círculo inscrito y del diámetro del círculo circunscrito.

Barroso, R (2012). Comunicación personal.

Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor de Matemáticas de Salamanca.

Suponiendo que el ángulo A sea obtuso se tienen las siguientes expresiones para los radios:

   y   .  Se pretende demostrar que

                    (1)

 Como ,  sustituyendo en (1) se tiene para el segundo miembro

La expresión (1) equivale a

         (2)

En la hipótesis del triángulo obtusángulo , por tanto, en la desigualdad anterior, simplificando el término , se tiene

                     (3)

Operando se obtiene , o bien , lo cual es evidente, al ser obtuso el ángulo A.