Problema 669

24.- Problema. Se da una circunferencia C y tres diámetros A₁, A₂ y A₃. Construir un triángulo inscrito en C tal que tenga a A₁, A₂ y A₃  como mediatrices.

Azis El Kacimi Alaoui (2012): Geometría euclídea elemental. (p. 79)

Solución del director.

Sea O el centro de C. Busquemos el triángulo pedido PQR.

Consideremos tres casos.

A) Supongamos que sea un triángulo acutángulo PQR el buscado.   

Tomemos A₁ y A₂. Sea <A₁OA₂=p.

Supuesto resuelto el problema, sea P el vértice que corresponde  a los lados PQ y PR cuyas mediatrices son A₁ y A₂.

La circunferencia de diámetro OP debe contener a los puntos medios R₁ y Q₁ de los lados PQ y PR, por ser

OR₁P=OQ₁P=90º

Por tanto OR₁PQ₁  es un cuadrilátero circunscrito y el ángulo <QPR=<Q₁PR₁=180-p.

De igual manera, si <A₂A₃=q, es <RQP=180-q, y si  <A₃A₁=r, es <QRP=180-r.

La bisectriz del ángulo P se corta con la mediatriz del lado QR, A₃, en S, que es de C.

Supongamos que r<q, 180-r>180-q.

Es <QSR=180-(180-p)=p. <OSQ=p/2. <PSR=180-q

<OSP=<QSR-<OSQ-<PSR= p-p/2-(180-q)=p/2+q-180.

Trazando pues, en S, punto de corte de A₃ con S el ángulo p/2+q-180, tendremos P.

Trazando las perpendiculares desde P a A1 y A2, obtendremos Q y R.

Si tomamos S* en el punto diametralmente opuesto a  S en  A₁ obtendremos el triángulo P*R*S*

B) Supongamos el caso en que el triángulo sea rectángulo.

En tal caso habrá dos mediatrices que se corten perpendicularmente.

Sean A₁ y A₂. Tomemos el diámetro QR perpendicular a A₃. Será la hipotenusa.

Sean R₁ y Q₁ los puntos en que las perpendiculares por Q y R cortan a A₁ y A₂ , respectivamente.

Sea P el simétrico de Q respecto a A₁ . Sea U el simétrico de R respecto a A₂.  

Al ser O Q₁P R₁ y O Q₁U R₁ dos rectángulos, es P=U y así completamos el triángulo PQR pedido.

Tomando los simétricos de Q y R respecto a A2 y A1, respectivamente obtenemos otro triángulo.

c) Supongamos el caso de un triángulo obtusángulo.

En tal caso, las mediatrices formarán:  <A₁A₂ =p, <A₁A₃ =r, <A₃A₂ =q.

Supongamos que r>q.

Es <QPR= 180-p, <PRQ=r, <RQP=q.

Suponiendo resuelto el problema, la bisectriz de QPR corta en S a la mediatriz A₁ , siendo S de la circunferencia C. el ángulo que forman ambas es r-p/2, lo que permite encontrar P y así, construir RPQ.

Hay dos soluciones.

Ricardo Barroso Campos.

Jubilado.