Construir un triángulo ABC dados el ángulo en A, su perímetro 2s y su área Δ.
Angel Montesdeoca
(Problema 765. Quincena del 15 al 29 de Febrero de 2016. Laboratorio virtual de triángulos con Cabri II. Propuesto por Jesús Sánchez)
• OPCIÓN 1.
Utlizando la fórmula Δ=s(s-a)tg(A/2), se determina la longitud del lado opuesto al vértice A:
a= (s² sen A - Δ(1+cos A))/(s sen A).
Por tanto, podemos utilizar la construcción (a, A, b+c=2s-a):
"Construir un triángulo del que se conoce un ángulo, el lado opuesto y la suma de los otros dos lados."
El vértice A está en el arco capaz desde cuyos puntos se ve el
segmento BC de longitud dada, bajo un ángulo A dado. Un punto P
sobre la semirrecta que une B con un punto M de dicho arco capaz,
tal que MP=MC, describe una circunferencia de centro en Q y que
pasa por B y C (Q es la intersección del arco capaz con la
mediatriz de BC). Los puntos A1 y A'1 de intersección de esta
circunferecia, lugar geométrico, con la circunferencia B(d) de centro
B y radio d=b+c dado, unidos con B, nos dan dos rectas que cortan
al arco capaz en dos puntos A y A', que corresponden al vértice que
falta determinar. Los triángulos ABC y ABC'
obtenidos, son simétricos respecto a la mediatriz de BC.
Para que exista el triángulo ABC buscado debe ocurrir que
b+c>a y b+c sea menor o igual que el diámetro del arco capaz de
A/2 sobre BC :
a<b+c≤ a cosec(A/2).
• OPCIÓN 2.
Utilizando la fórmula r = (s-a) tag (A/2) (donde la longitud "a" está determinada en la OPCIÓN 1), se determina la magnitud del radio de la circunsferencia inscrita a ABC. Por tanto, se trata del Problema 401 del Laboratorio virtual de triángulos con Cabri II:
"Construir un triángulo dado : Un lado a, el inradio r, y la medida del ángulo A opuesto al lado a."
Hiebert, J (1986): Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics.
Lawrence Erlbaum Associates, Publishers. London. (p. 245)
Con la siguiente solución:
http://www.aloj.us.es/rbarroso/trianguloscabri/sol/sol401angmon.pdf
http://amontes.webs.ull.es/pdf/ejct2110.pdf
http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ct.pdf#ej2110
• OPCIÓN 3.
Utilizando la fórmula r = (s-a) tag (A/2) (donde la longitud "a" está determinada en la OPCIÓN 1), se determina la magnitud del radio de la circunsferencia inscrita a ABC. Por tanto, se trata del Problema 492 del Laboratorio virtual de triángulos con Cabri II:
"Construir un triángulo dado el perímetro 2p, un ángulo B y el radio r’ del círculo inscrito."
Metodología y didáctica de la matemática elemental : para uso de los alumnos de Escuelas Normales y aspirantes al profesorado de 1a y 2a enseñanza / por J. Rey Pastor y P. Puig Adam Madrid [s. n.], 1933(p.83-84)
Con la siguiente solución:
http://www.aloj.us.es/rbarroso/trianguloscabri/sol/sol492angmon.pdf
http://amontes.webs.ull.es/pdf/ejct2060.pdf
http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ct.pdf#ej2060
• OPCIÓN 4.
Utilizando las fórmulas r=(s-a) tg (A/2) y a = 2R sen A, se determina la magnitud de los radios de las circunsferencias circunscrita e inscrita a ABC (donde la longitud "a" está determinada en la OPCIÓN 1). Por tanto, podemos utilizar la construcción (A, R, r):
"Construir un triángulo dado un ángulo y los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita."
http://amontes.webs.ull.es/pdf/ejct2037.pdf.