Propuesto por Philippe Fondanaiche

Problema 890

Sea un triángulo ABC.
La circunferencia inscrita de centro I es tangente a los lados BC, CA y AB en los puntos A₁, B₁ y C₁.
La circunferencia exinscrita del ángulo A es tangente al lado BC en el punto A₂.
Los puntos A’, B’, C’, son los puntos medios de los lados BC, CA y AB.
AH es la altura del vértice A.
Se definen los siguientes nueve puntos M, N, P, Q, R , S , T, U, V:
La recta A₂I corta a AH en el punto M.
La recta A’I corta a la recta AA₁ En el punto N.
La recta A₁I corta a la mediana AA’ en el punto P.
La perpendicular por I a la recta AA’ corta en el punto Q a la paralela a BC por A.
La bisectriz del ángulo C del triángulo ABC corta a la recta A’C’ en el punto R.
La bisectriz del ángulo B corta la circunferencia de diámetro BC en un segundo punto S.
La recta A₁B₁ corta a la recta A’C’ en el punto T.
El punto U es el punto medio de la mediana AA’.
El punto V es la proyección del vértice A sobre la bisectriz del ángulo B.

Demostrar que:

1. Los puntos M, N, U y V están alineados.
2. Los puntos P, Q, R y S están alineados.
3.  Los puntos B, I, R y T son concíclicos.
4. Los puntos B, C, R y S son concíclicos.
5. Los puntos A, B, V, T son concíclicos.

Fondanaiche, P. (2018): Comunicación personal.