Propuesto por Miguel-Ángel Pérez García-Ortega, profesor de Matemáticas en el IES "Bartolomé-José Gallardo" de Campanario (Badajoz)
Problema 957
Ejercicio 2953. Dados un triángulo ABC con baricentro G, incentro I, ortocentro H, circuncentro O y
punto simediano K y un punto P interior a él, probar que:
1) El lugar geométrico de los centros de las cónicas que circunscriben al cuadrilátero ABCP es una elipse
que pasa por los puntos medios D, E y F de los segmentos BC, CA y AB, respectivamente, y por
los vértices del triángulo ceviano D’’E’’F’’ del punto P con respecto al triángulo ABC, pero no pasa
por los vértices de éste. Además, todas las cónicas que circunscriben al cuadrilátero ABCP son de tipo
hiperbólico.
2)Esta elipse es una circunferencia únicamente cuando P = H.
3) Esta elipse no puede ser tangente exactamente a dos de los lados del triángulo ABC.
4) El centro M de esta elipse coincide con el punto P únicamente cuando P = G.
5)Esta elipse no pasa por ninguno de los puntos P, I y G y, además, si el triángulo ABC no es
obtusángulo, tampoco pasa por el punto K y pasa por el punto O si y sólo si el triángulo ABC es
rectángulo.
6) Las rectas polares de los puntos P y G respecto de esta elipse no contienen ningún punto interior al
triángulo ABC.
7) Las rectas polares de los puntos A, B y C respecto de esta elipse no pasan ni por el punto P ni por el
punto G.
8) Las rectas tangentes a esta elipse en los puntos medios D, E y F no pasan por ninguno de los puntos
P, I y G y, además, si el triángulo ABC no es obtusángulo, tampoco pasan por el punto K.
9) El baricentro del triángulo UVW determinado por las rectas tangentes a esta elipse en los puntos D, E
y F coincide con el punto G si y sólo si P = G.
10) El baricentro del triángulo XYZ determinado por las rectas polares a esta elipse en los puntos A, B y
C coincide con el punto G si y sólo si P =G.
Pérez, M. A. (2020): Comunicación personal.