Propuesto por Miguel-Ángel Pérez García-Ortega, profesor de Matemáticas en el IES "Bartolomé-José Gallardo" de Campanario (Badajoz)

Problema 988

Dados un triángulo ABC con baricentro G y triángulo LMN ceviano de éste, se consideran
un punto P y su triángulo ceviano DEF:
1) Probar que existe una cónica Ώ que pasa por los puntos L, M, N, D, E y F.
2) Probar que el centro Q de la cónica Ώ está alineado con los puntos P y G y que, además, se verifica
que PQ = 3QG.
3) Determinar el lugar geométrico que debe describir el punto P para que la cónica Ώ sea tangente a
alguno de los lados del triángulo ABC. Probar que esta cónica no puede ser tangente exactamente a dos
de los lados del triángulo ABC e identificar esta cónica en el caso en que sea tangente a los tres lados.
4) Determinar el lugar geométrico que debe describir el punto P para que la cónica Ώ sea degenerada,
identificando todos los pares de rectas resultantes.
5) Indicar en qué regiones del plano la cónica Ώ es una elipse, una hipérbola o una parábola.
6) Determinar el lugar geométrico que debe describir el punto P para que la cónica Ώ sea una hipérbola
equilátera o un par de rectas perpendiculares.
7) Determinar el lugar geométrico que debe describir el punto P para que el centro Q la cónica Ώ esté
situado sobre la circunelipse de Steiner del triángulo ABC.
8) Determinar el lugar geométrico que debe describir el punto P para que el centro Q la cónica Ώ esté
situado sobre la inelipse de Steiner del triángulo ABC.
9) Determinar el lugar geométrico que debe describir el punto P para que el centro Q la cónica Ώ esté
alineado con los puntos D y E.
10) Determinar el lugar geométrico que debe describir el punto P para que el punto Q Ώ conjugado
isotómico del centro Q de la cónica Ώ esté situado sobre la recta paralela a BC pasando por los
puntos medios de los segmentos AB y CA.
11) Determinar el lugar geométrico que debe describir el punto P para que la trilineal polar del centro Q
la cónica Ώ pase por el baricentro G del triángulo ABC.

Pérez, M. A. (2021): Comunicación personal